存储及基本操作

图的存储必须要完整、准确的反映顶点集和边集的信息。主要的存储方式有两种: 邻接矩阵 和 邻接表。前者属于图的顺序存储结构，后者属于图的链式存储结构。

邻接矩阵

设图的顶点数量为 $N$，邻接矩阵（adjacency matrix）使用一个 $n \times n$大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 1 或 0 表示两个顶点之间是否存在边。

如下图所示，设邻接矩阵为 $M$、顶点列表为 $V$ ，那么矩阵元素 $M[i,j]=1$ 表示顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间存在边，反之 $M[i,j]=0$ 表示两顶点之间无边。

#define MaxVertexNum 100 //顶点数目的最大值
typedef char VerterType; //顶点的数据类型
typedef int EdgeType;    //带权图中边上权值的数据类型
typedef struct{
    VertexType Vex[MaxVertexNum]; //顶点表
    EdgeType Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; //邻接矩阵，边表
    int vexnum,arcnum;   //图的当前顶点数和弧数 
}MGraph;

邻接矩阵具有以下特性:

• 顶点不能与自身相连，因此邻接矩阵主对角线元素没有意义。

• 无向图的邻接矩一定是对称矩阵并且唯一。

• 邻接矩阵的第i行(或第i列) 非零元素(或非∞元素)的个数正好是第 i 个顶点的度。

• 将邻接矩阵的元素从 1 和 0 替换为权重，则可表示有权图。

使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查改操作的效率很高，时间复杂度均为 $O(1)$。然而，矩阵的空间复杂度为 $O(n^2)$，内存占用较多。

邻接矩阵的基本操作:

• 添加或删除边：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 $O(1)$ 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。

• 添加顶点：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 0 即可，使用 $O(n)$时间。

• 删除顶点：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 $(n-1)^2$ 个元素“向左上移动”，从而使用 $O(n^2)$时间。

• 初始化：传入 $n$ 个顶点，初始化长度为 $n$ 的顶点列表 vertices ，使用 $O(n)$ 时间；初始化 $n \times n$ 大小的邻接矩阵 adjMat ，使用 $O(n^2)$ 时间。

初始化

添加边

删除边

添加节点

删除节点

实现代码

//graph_adjacency_matrix.cpp
/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat {
    vector<int> vertices;       // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
    vector<vector<int>> adjMat; // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”

  public:
    /* 构造方法 */
    GraphAdjMat(const vector<int> &vertices, const vector<vector<int>> &edges) {
        // 添加顶点
        for (int val : vertices) {
            addVertex(val);
        }
        // 添加边
        // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
        for (const vector<int> &edge : edges) {
            addEdge(edge[0], edge[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    int size() const {
        return vertices.size();
    }

    /* 添加顶点 */
    void addVertex(int val) {
        int n = size();
        // 向顶点列表中添加新顶点的值
        vertices.push_back(val);
        // 在邻接矩阵中添加一行
        adjMat.emplace_back(vector<int>(n, 0));
        // 在邻接矩阵中添加一列
        for (vector<int> &row : adjMat) {
            row.push_back(0);
        }
    }

    /* 删除顶点 */
    void removeVertex(int index) {
        if (index >= size()) {
            throw out_of_range("顶点不存在");
        }
        // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
        vertices.erase(vertices.begin() + index);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
        adjMat.erase(adjMat.begin() + index);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
        for (vector<int> &row : adjMat) {
            row.erase(row.begin() + index);
        }
    }

    /* 添加边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    void addEdge(int i, int j) {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) {
            throw out_of_range("顶点不存在");
        }
        // 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
        adjMat[i][j] = 1;
        adjMat[j][i] = 1;
    }

    /* 删除边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    void removeEdge(int i, int j) {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) {
            throw out_of_range("顶点不存在");
        }
        adjMat[i][j] = 0;
        adjMat[j][i] = 0;
    }

    /* 打印邻接矩阵 */
    void print() {
        cout << "顶点列表 = ";
        printVector(vertices);
        cout << "邻接矩阵 =" << endl;
        printVectorMatrix(adjMat);
    }
};

邻接表

邻接表（adjacency list）使用 $n$ 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 $i$ 个链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（与该顶点相连的顶点）。下图展示了一个使用邻接表存储的图的示例。

#define MaxVertexNum 100    //图中最大顶点数
typedef struct ArcNode{        //边表结点
    int adjvex;                //该弧所指向的顶点的位置
    struct ArcNode *next;    //指向下一条弧的指针
    //InfoType info         //网的边权值
}ArcNode;

typedef struct VNode{        //顶点表
    VertexType data;        //顶点信息
    ArcNode *first;            //指向第一条依附该结点的弧的指针    
}VNode,AdjList[MaxVertexNum];

typedef struct{                
    AdjList vertices;        //邻接表
    int vexnum,arcnum;        //图的顶点和弧数
}ALGraph;                    //以邻接表存储的图类型

邻接表仅存储实际存在的边，而边的总数通常远小于 $n^2$，因此它更加节省空间。然而，在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，因此其时间效率不如邻接矩阵。

观察上图 ，邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似的方法来优化效率。比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(\log{n})$；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降至 $O(1)$ 。

邻接表的基本操作:

• 添加边：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。

• 删除边：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。

• 添加顶点：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头节点，使用 $O(1)$ 时间。

• 删除顶点：需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 $O(n+m)$时间。

• 初始化：在邻接表中创建 $n$ 个顶点和 $2m$ 条边，使用 $O(n+m)$ 时间。

初始化

添加边

删除边

添加节点

删除节点

以下是邻接表的代码实现。对比上图 ，实际代码有以下不同。

• 为了方便添加与删除顶点，以及简化代码，我们使用列表（动态数组）来代替链表。

• 使用哈希表来存储邻接表，key 为顶点实例，value 为该顶点的邻接顶点列表（链表）。

另外，我们在邻接表中使用 Vertex 类来表示顶点，这样做的原因是：如果与邻接矩阵一样，用列表索引来区分不同顶点，那么假设要删除索引为 $i$ 的顶点，则需遍历整个邻接表，将所有大于 $i$ 的索引全部减 1 ，效率很低。而如果每个顶点都是唯一的 Vertex 实例，删除某一顶点之后就无须改动其他顶点了。

代码实现

// graph_adjavency_list.cpp
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
  public:
    // 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
    unordered_map<Vertex *, vector<Vertex *>> adjList;

    /* 在 vector 中删除指定节点 */
    void remove(vector<Vertex *> &vec, Vertex *vet) {
        for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {
            if (vec[i] == vet) {
                vec.erase(vec.begin() + i);
                break;
            }
        }
    }

    /* 构造方法 */
    GraphAdjList(const vector<vector<Vertex *>> &edges) {
        // 添加所有顶点和边
        for (const vector<Vertex *> &edge : edges) {
            addVertex(edge[0]);
            addVertex(edge[1]);
            addEdge(edge[0], edge[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    int size() {
        return adjList.size();
    }

    /* 添加边 */
    void addEdge(Vertex *vet1, Vertex *vet2) {
        if (!adjList.count(vet1) || !adjList.count(vet2) || vet1 == vet2)
            throw invalid_argument("不存在顶点");
        // 添加边 vet1 - vet2
        adjList[vet1].push_back(vet2);
        adjList[vet2].push_back(vet1);
    }

    /* 删除边 */
    void removeEdge(Vertex *vet1, Vertex *vet2) {
        if (!adjList.count(vet1) || !adjList.count(vet2) || vet1 == vet2)
            throw invalid_argument("不存在顶点");
        // 删除边 vet1 - vet2
        remove(adjList[vet1], vet2);
        remove(adjList[vet2], vet1);
    }

    /* 添加顶点 */
    void addVertex(Vertex *vet) {
        if (adjList.count(vet))
            return;
        // 在邻接表中添加一个新链表
        adjList[vet] = vector<Vertex *>();
    }

    /* 删除顶点 */
    void removeVertex(Vertex *vet) {
        if (!adjList.count(vet))
            throw invalid_argument("不存在顶点");
        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
        adjList.erase(vet);
        // 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
        for (auto &adj : adjList) {
            remove(adj.second, vet);
        }
    }

    /* 打印邻接表 */
    void print() {
        cout << "邻接表 =" << endl;
        for (auto &adj : adjList) {
            const auto &key = adj.first;
            const auto &vec = adj.second;
            cout << key->val << ": ";
            printVector(vetsToVals(vec));
        }
    }
};

效率对比

图的常见应用

	顶点	边	图计算问题
社交网络	用户	好友关系	潜在好友推荐
地铁线路	站点	站点间的连通性	最短路线推荐
太阳系	星体	星体间的万有引力作用	行星轨道计算

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